老铁，数字信号处理这一套玩意儿，别一上来就在那儿背公式、念定理，那是给送外卖的写的。咱们得直接摸鱼，就像去超市挑菜一样，把该扔的扔，该学的学。
这玩意儿的核心就一句话：抓稳住那股“时域”和“频域”的勾子，剩下来的都是背景噪音。 刚学的时候，最好办沾上坑就是把波形和图像硬套进脑子里。你说FFT 是画个频谱图吧？我当初也是如此做的，找各种各样的频谱图，认定你看图就能懂，如何就懂了？结局搞错点数，搞错频率轴，FFT 那玩意儿直接成了个摆设。
后来我才悟出个道理，做 FFT 就像是在电脑上找个坐标，坐标不对，图就是歪的。
要是真搞懂了原理，那就得先把 cos 和 sin 的关系搞清楚。
那俩函数，一个像钟摆，一个像摇椅，频率分别是 2PI 和 PI。
要是把这两个量搞混了，整个系统就变形了。我当年也是，当作抓住了这两个量就万事大吉，结局信号一处理，那波形就像做贼一样，明明没动，频率却变了。
后来我把这两个值单独拎出来，在脑子里做个乘法表，脑子里有个计数器，每过 1 秒，我就记一个值，最终再图个繁华，这样搞的，比死记硬背靠谱多了。 再说点别的，FFT 这东西，说白了就是帮你把工夫的混乱、频率的凌乱切成一个个小块。切得规整，事儿就好办了。
要是切得不齐，哪怕你只调个 FFT 点数，结局频域上的那些尖峰就散开了，像挤牙膏一样，根本看不清。
故此啊，调 FFT 点数这事儿，得有个“度”。
一般情况下，算个 8192 的点数，对于大多数工程需求已经够了。
要是数据忒碎，那得靠 upsampling 去补；要是数据忒满，那就得找频率轴，把那些没用的频率给过滤掉。别老想着把 FFT 调成无限大、无限精度，那不仅费事，并且好办出 bug。 还有啊，别总想着用 MATLAB 或 Python 当保姆，让他们干完活你还要找他们。我有个好哥们儿，一启动就是找大神求代码，结局代码装给哪位看？程序能跑，人却跑不赢。
故此啊，你得自己在那儿动笔，哪怕代码丑点，哪怕写出来报错一堆，你得亲手把那些报错信息缩成一个个小格子，看着它们如何跳，如何报错，如何把系统踢飞。
这时候你脑子里的图才会给你自己找补回来。 说到具体案例，我就想拿一个脉冲序列来举例。假设你手里有个信号，它是由一系列离散的脉冲跳过的。
这玩意儿在时域上看起来像一堆离散的点，但在频域上，这一个个点实际上对应着一个个频带。当你在时域上对这些点做个 DFT（离散傅里叶变换）的时候，你会发现那些点之间并不是等间隔的。有些是距离，有些是紧凑的。
这时候，要是你直接画图，会发现那根频率轴根本画不出来，出于忒密了。
这时候你得想想办法，要么是对频域采样进行插值，要么是在时域上做个预展（pre-allocating），把那些空缺的位置给填上。我当年就是如此做的，把频域画大，结局那根频率轴就翘起来了，这下看才顺眼。 另外，千万别一上来就搞 Z-变换。Z 变换听起来深奥，实际上它就是个把时域映射到复平面上的转换器。但别硬背它的数学定义，那玩意儿对咱们一般/平平人来说忒累了。咱们得换个思路，看看它的收敛性。
比如一个因果系统，它的 Z 变换在单位圆内收敛。
这听起来是数学语言，但本质上就是告诉我，这个系统是有始无终的，能量不会无限累积。
要是系统有始无终，那它的 Z 变换一般是能够分解成局部分式（Pole-zero decomposition）的。
这局部分式处理起来，跟拉普拉斯变换有点像，只不过是在复平面上玩。
这时候你就能看到系统的一个极点，它拍板了系统的稳定性，一个零点拍板了系统的零点。
要是极点到了单位圆外面，系统就跑不稳了，这叫不稳定；要是零点在原来极点的位置，那响应就变短了，这叫衰减。 还有，别总想着把时域和频域硬连在一起。
有时候它们长得像，有时候看着像。
比如一个低频信号，它的工夫波形可能挺稳，但频率分布可能挺散。
这时候你得学会看眼缘。我有个哥们儿，分析一个音频信号时，盯着波形看，总认定没重点，结局一看频谱图，发现那些能量都在基频附近，顿时眼前一亮。
这时候你明白，工夫域上的平滑，往往对应频域上的聚拢。
反过来，要是工夫上全是噪声，频域上那能量可能全散在角落里。
这时候你得知道，工夫域上的噪声，频域上往往表现为噪纹。 最终，想学好数字信号处理，心里得有个数。别老问“如何算”，尽量去问“为啥”。
比方说，为啥滤波器要用 IIR 还是 FIR？这实际上是出于 IIR 的阶数能够低，带宽能够窄，但相位特性不好；FIR 的阶数高，相位好，但不灵活。
这就好比炒菜，IIR 像是用一次性的调料瓶，别看省得费事，但味道好办淡；FIR 像是用现成的汤罐，味道稳，但得备多。到底选哪个，得看你那天想吃啥菜。 总而言之，数字信号处理不是考你你能不能把公式背下来，而是考你能不能在那儿看着那些数据，心里有个数，知道这数据意味着啥，又能用好办的工具把它变成可理解的样子。别总去学那些没用的数学证明，去搞搞 FFT，去看看线段图，看看 Z 平面的收敛，那些东西才是真用的。
